การเขียนเซต

การเขียนเซต

     นอกจากจะเขียนวงกลมหรือวงรีล้อมรอบสมาชิกทั้งหมดของเซตแล้ว

เรายังมีวิธีเขียนเซตได้อีก 2 วิธี ดังนี้  

1) วิธีแจกแจงสมาชิก (Tubular form) มีหลักการเขียน ดังนี้

1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกแต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่จำนวนสมาชิกมาก ๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัวแรก แล้วใช้จุด 3 จุด

                    (Tripple dot) แล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

         2) วิธีบอกเงื่อนไขของสมาชิก (Set builder form) หลักการเขียนมีดังนี้

              1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา

              2.กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย | (| อ่านว่า "โดยที")่

                แล้วตามด้วยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x}

เซต	แบบแจกแจงสมาชิก	แบบบอกเงื่อนไข
A เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 5	A = {1, 2, 3, 4}	A = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 5}
B เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์	B = {วันอาทิตย์, วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัสบดี, วันศุกร์, วันเสาร์}	B = {x | x เป็นชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์}
C เป็นเซตของตัวอักษรในภาษาอังกฤษ	C = {a, b, c, ... ,z}	C = {y | y เป็นตัวอักษรในภาษาอังกฤษ}

 เอกสารประกอบการเรียนรู้ 
เรื่อง เซต (Set)
คณิตศาสตร์ (สาระพื้นฐาน)

บทนำ

ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ จะเริ่มต้นด้วยการเรียนรู้คำใหม่ๆ โดยกำหนดบทนิยามของคำเหล่านั้น โดยบอกความหมายไว้ชัดเจนและรัดกุม แต่ในคำบางคำก็ไม่จำเป็นต้องให้บทนิยาม เราเรียกคำที่ไม่ต้องนิยามว่า “อนิยาม” นักคณิตศาสตร์ เริ่มเห็นความสำคัญของอนิยามเมื่อประมาณร้อยปีมานี้ ในการให้บทนิยามคำใดก็ตามต้องอาศัยคำพื้นฐานบางคำ ถ้าให้บทนิยามพื้นฐานเหล่านี้อีก ก็จะมีคำที่ต้องบทนิยามเพิ่มขึ้น ในที่สุดก็จะกลับมาคำเก่า วนเวียนไปมาเช่นนี้ จึงต้องใช้คำบางคำโดยไม่ต้องบทนิยาม แต่เมื่อกล่าวถึงคำๆ นั้น เราจะทราบความหมายของคำๆ นั้น เช่น คำว่า จุด , เส้น , ระนาบ เป็นต้น

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซตและสมาชิกของเซต

คำว่า เซต และ สมาชิกของเซต เป็น อนิยาม เราไม่พูดว่าเซตคืออะไร หรือ ไม่พูดว่า สมาชิกของเซตคืออะไร แต่มีหลักในการพิจารณาว่า ถ้ากำหนดเซตหนึ่งและสิ่งใดสิ่งหนึ่งมาให้แล้ว เราสามารถบอกได้ว่า สิ่งที่กำหนดให้นั้นเป็นสมาชิกของเซตที่กล่าวถึงหรือไม่

ในวิชาคณิตศาสตร์ เราใช้เซตในความหมายของคำว่ากลุ่มของสิ่งต่างๆ โดยที่เมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้ว สามารถทราบได้แน่ชัดว่า สิ่งของที่อยู่ในกลุ่มนั้นมีอะไรบ้าง หรือทราบได้ว่า สิ่งใดจะอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มนี้โดยไม่กำกวม

ลองพิจารณากลุ่มที่เราสนใจต่อไปนี้ว่าเกิดเซตหรือไม่

1. วันในหนึ่งสัปดาห์

2. เดือนในหนึ่งปี

3. จังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ “ป”

4. สระภาษาอังกฤษ

5. จำนวนเต็มบวกซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว

ที่กล่าวมาเป็นเพียงตัวอย่างส่วนหนึ่งของกลุ่มของสิ่งของที่ถือว่าเป็น เซต

ลองพิจารณากลุ่มที่เราสนใจต่อไปนี้ว่าเป็นเซตหรือไม่

1. นักเรียนเก่า

2. คนสวยในประเทศไทย 5 คน

3. ผลไม้ที่อร่อยที่สุดในโลก 5 ชนิด

4. คนที่น่ารักที่สุดในประเทศไทย

5. คนที่ร่ำรวยในประเทศไทย

กลุ่มของสิ่งของลักษณะนี้ไม่เกิดเซต เราไม่ทราบได้แน่ชัดว่ามีสิ่งใดอยู่ในกลุ่มนี้บ้าง เพราะมาตรฐานที่ใช้บอกความอร่อย , ความสวย , ความน่ารัก , ความเก่ง ฯลฯ ของแต่ละคนไม่เหมือนกันซึ่งกำกวม

ตามที่กล่าวมาแล้ว ถ้ากล่าวถึงเซต เราจะทราบได้แน่ขัดว่ามีสิ่งใดบ้างอยู่ในเซตนี้ เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า “สมาชิกของเซต”

ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของเซต

1. ใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เป็นชื่อย่อของเซต เช่น A , B , C , D , … , Z

2. ใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กแทนสมาชิกของเซต เช่น a , b , c , d , … , z

3. ใช้วงเล็บปีกกาแทน เซต เช่น A = { b , o , y } B = { x/x² = 16 }

4. ใช้สัญลักษณ์ “∈ ” แทนคำว่า “เป็นสมาชิกของ” และ “ ∉ ” แทนคำว่า “ไม่ เป็นสมาชิกของ”

เช่น A = { 2 , 3 , 5 }

จะเห็นว่า 2 เป็นสมาชิกของเซต A เราเขียนแทนด้วย 2∈A

7 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เราเขียนแทนด้วย 7∉A

5. ใช้สัญลักษณ์ n (A) แทนจำนวนสมาชิกของเซต A

เช่น A = { a , e , i , o , u } n(A) = 5

6. ถ้าสมาชิกในเซตเดียวกันซ้ำกัน ให้ถือว่า เซตนั้นมีสมาชิกดังกล่าวเพียงตัวเดียว

เช่น { 1 , 2 , 2 , 3 , 3 } จะเท่ากับ { 1 , 2 , 3 } 

การเขียนเซต

การกล่าวถึงเซตใดเซตหนึ่ง นอกเหนือจากบรรยายลักษณะของสมาชิกในเซตนั้นแล้ว เรามีวิธีการเขียนเซต ในรูปแบบสัญลักษณ์ ซึ่งมีวิธีเขียนได้ 2 แบบ คือ

1. แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีนี้เขียนสมาชิกทุกตัวในวงเล็บปีกกา และใช้เครื่องหมายจุลภาค “ , ” คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว

1.1 ถ้าสมาชิกของเซตมีน้อย ให้เขียนให้ครบ

เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }

1.2 ถ้าสมาชิกของเซตนั้นมีมากและเป็นระเบียบ สามารถทราบสมาชิดตัวต่อๆ ไปได้เรารู้สมาชิกตัวแรกและตัวสุดท้าย เราสามารถละ สมาชิกช่วงกลางๆ ได้โดยใช้จุด 3 จุด “ … ” แทน

เช่น เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 100 A = { 1 , 2 , 3 , … , 100 }

เซตของพยัญชนะภาษาไทย B = { ก , ข , ฃ , ... , ฮ }

1.3 ถ้าสมาชิกของเซตมีมากจนไม่สิ้นสุด และเป็นระเบียบสามารถทราบสมาชิกตัวต่อๆ ไปได้ เราก็เขียนเฉพาะตัวแรกๆ สามารถละสมาชิกช่วงหลังๆ ได้โดยใช้จุด 3 จุด “ … ”

เช่น - เซตของจำนวนเต็มลบที่ 10 หารลงตัว A = { -10 , -20 , -30 , … }

- เซตของจำนวนนับ B = { 1 , 2 , 3 , … }

เอกภพสัมพัทธ์ ( Universal Set ) 

บทนิยาม

เอกภพสัมพัทธ์ ( Universal Set ) คือเซตที่กำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะไม่กล่าวถึงสิ่งใดนอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้

ข้อตกลง นิยมใช้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์

2. แบบบอกเงื่อนไข

การเขียนแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกของเซต เริ่มต้นด้วยการกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ ( Universal ) วิธีนี้จะใช้ตัวแปรแทนสมาชิกของเซต พร้อมทั้งอธิบายคุณสมบัติของสมาชิกที่อยู่ในเซตนั้น ระหว่างตัวแปรกับคำอธิบายคั่นด้วยเครื่องหมาย “ / ” ( อ่านว่า โดยที่ ) แล้วเขียนวงเล็บปีกกาคร่อม

เช่น U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

A = { x∈U / x เป็นจำนวนคี่ }

อ่านว่า A เป็นเซตที่ประกอบด้วย x ซึ่งเป็นสมาชิกของ U โดยที่ x เป็นจำนวนคี่ หรือ อาจเขียน

A = { x / x∈U และ x เป็นจำนวนคี่ } ถ้าจะเขียน A แบบแจกแจงสมาชิกจะได้ A = { 1 , 3 , 5 }

ในการสร้างเซตแบบบอกเงื่อนไขแต่ละครั้ง ถ้าเรากำหนดเอกภพสัมพัทธ์ไว้ก่อนแล้วการเขียนเซตไม่จำเป็นต้องเขียนเอกภพสัมพัทธ์กำกับไว้ภายในเซตนั้นก็ได้ แต่จะต้องพึงระวัง ระลึกไว้เสมอว่า สมาชิกของทุกเซตที่จะกล่าวต่อไป จะต้องเป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ที่กำหนดให้ ดังเช่น กำหนดเอกภพสัมพัทธ์

U = { 1 , 2 , 3 , … , 25 }

A = { x / x มี 5 เป็นตัวประกอบ }

จะได้ A = { 5 , 10 , 15 , 20 , 25 }

B = { x /x เป็นจำนวนเฉพาะ }

จะได้ B = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 }

• หมายเหตุ ในการกล่าวถึงเซตซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวน มีข้อตกลงว่า ถ้ามิได้กำหนดเอกภพสัมพัทธ์มาให้ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจำนวนจริง

• สัญลักษณ์แทนเซตของจำนวนต่างๆ

จำนวนนับ แทนด้วย N โดยที่ N = { 1 , 2 , 3 , … }

จำนวนเต็ม แทนด้วย I โดยที่ I = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , …}

จำนวนเต็มลบ แทนด้วย I ^- โดยที่ I ^- = { -1 , -2 , -3 , … }

จำนวนเต็มศูนย์ แทนด้วย I ⁰ โดยที่ I ⁰ = { 0 }

จำนวนเต็มบวก แทนด้วย I ⁺ โดยที่ I ⁺ = { 1 , 2 , 3 , … }

จำนวนตรรกยะ แทนด้วย โดยที่ Q เป็นจำนวนที่เขียนแทนด้วยเศษส่วนได้ Q

จำนวนอตรรกยะ แทนด้วย Q โดยที่ Q′′ เป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

จำนวนจริง แทนด้วย R ประกอบไปด้วยจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

ชนิดของเซต

เซตว่าง [ Empty set or Null set ]

หมายถึงเซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับศูนย์

ข้อตกลง เราใช้สัญลักษณ์ φ หรือ { } แทนเซตว่าง

ตัวอย่างเซตที่เป็นเซตว่างคือ 1. เซตของนายกรัฐมนตรีของประเทศไทยที่เป็นผู้หญิง

2. { x / x² = -4}

3. { x / x เป็นสระในคำว่า “มรกต” }

เซตจำกัด [ Finite set ]

หมายถึงเซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์

จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด A เขียนด้วย n(A) ดังนั้น n(A) จะหาค่าได้ และเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ก็ต่อเมื่อ Aเป็นเซตจำกัด

เซตอนันต์ [ Infinite set ]

หมายถึงเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเซตที่เป็นเซตอนันต์

1. A = { 1 , 2 , 3 , … }

2. B = { x / x เป็นจำนวนคี่ }

3. C = { x / x เป็นจำนวนเฉพาะ }

เซตที่เท่ากัน

เซต A เท่ากับ เซต B ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน

สัญลักษณ์ ถ้า A และ B เป็นเซตที่เท่ากัน เราจะเขียนแทนด้วย A=B

ถ้า A และ B เป็นเซตที่ไม่เท่ากัน เราจะเขียนแทนด้วย A≠B

ตัวอย่างการเท่ากันของเซต

1. กำหนดให้ A = { x / x เป็นพยัญชนะในคำว่า set }

A = { s , e , t }

B = { x / x เป็นพยัญชนะในคำว่า test }

B = { t , e , s }

A=B

2. กำหนดให้ A = { x / x∈N และ x < 6 }

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

AB ≠

3. กำหนดให้ U = เซตของพยัญชนะภาษาไทย

A = เซตของพยัญชนะในคำว่า “สามัคคี”

B = เซตของพยัญชนะในคำว่า “สมาคม”

C = เซตของพยัญชนะในคำว่า “คำสมาส”

D = เซตของพยัญชนะในคำว่า “ดอกไม้”

E = เซตของพยัญชนะในคำว่า “มอดกัดไม้”

จะได้ A=B=C และ D=E 

สับเซต [ Subset ]

บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B

ข้อตกลง A เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ AB ⊂

สิ่งที่ควรทราบ เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ ถ้ามีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของเซต B

ข้อตกลง A ไม่เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A⊄B

ตัวอย่าง 1. กำหนดให้ A = { 1 ,2 ,3 ,4 }

B = {x∈N / 2x < 9 } B = { 1 ,2 ,3 ,4 }

A⊂B

2. กำหนดให้ A = {x / x + x = 12 } A = { 6 }

B = {x / x² = 36 } B = { -6,6 }

A⊂B

3. กำหนดให้ A = {x∈I / 2 ≤ x < 7 } A = { 2 ,3 ,4 ,5 ,6 }

B = { x∈N / x≤ 5 } B = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }

A⊄B เพราะ 6∈A แต่ 6∉B

คุณสมบัติของสับเซตบางประการที่น่าสนใจ

1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง

กล่าวคือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว A⊂A

2. เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต

กล่าวคือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว ⊂φA

3. สับเซตมีคุณสมบัติการถ่ายทอด

กล่าวคือ ถ้า AB และ B⊂C แล้ว AC ⊂⊂

ตัวอย่าง 1. กำหนดให้ A = { 3 } จงเขียนสับเซตทั้งหมดของ A

สับเซตทั้งหมดของ A มี 2 เซตคือ

1. φ

2. { 3 }

2. กำหนดให้ A = { 1,2 } จงเขียนสับเซตทั้งหมดของ A

สับเซตทั้งหมดของ A มี 4 เซตคือ

1. φ

2. { 1 }

3. { 2 }

4. { 1 ,2 }

3. กำหนดให้ A = { a ,b ,c } จงเขียนสับเซตทั้งหมดของ A

สับเซตทั้งหมดของ A มี 8 เซตคือ

1. φ

2. { a }

3. { b }

4. { c }

5. { a ,b }

6. { a ,c }

7. { b ,c }

8. { a ,b ,c } 

สับเซตแท้ [ Proper Subset ]
A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A⊂B และ A≠B

กำหนดให้ A = { -1 ,3 } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

สับเซตแท้ทั้งหมดของ A มี 3 เซตคือ

1. φ

2. { -1 }

3. { 3 }

กำหนดให้ A = { a ,b ,c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

สับเซตแท้ทั้งหมดของ A มี 7 เซตคือ

1. φ

2. { a }

3. { b }

4. { c }

5. { a ,b }

6. { a ,c }

7. { b ,c }

จำง่ายๆ ก็คือ สับเซตแท้ของ A คือ สับเซตของ A ทุกตัวยกเว้นเซต A เอง

ข้อสังเกต 1. ในกรณีที่ A เป็นเซตจำกัด จำนวนสับเซตทั้งหมดของ A และจำนวนสมาชิกของ A

มีความสัมพันธ์กันดังนี้

ถ้า n(A) = k แล้ว จำนวนสับเซตทั้งหมดของ A = 2^k เซต

ดังนั้น จำนวนสับเซตแท้ทั้งหมดของ A = 2^k - 1 เซต

2. ถ้า A =φ แล้ว จะไม่มีสับเซตแท้ของ A ทั้งนี้เพราะสับเซตของ A มีเพียงเซตเดียวคือ φ

เท่ากับ A ดังนั้น เซตว่างไม่มีสับเซตแท้

แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ [ Venn – Euler Diagram ]

การศึกษาเกี่ยวกับเรื่องเซต ในบางครั้งการเขียนแผนภาพจะช่วยให้เราสามารถเข้าใจและทำให้คิดโจทย์ได้เร็วและชัดเจนมากขึ้น เรียกการเขียนแผนภาพแทนเซตนี้ว่า “แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์”

ในการเขียนแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ เริ่มด้วยการใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือรูปปิดใดๆ แทนเอกภพสัมพัทธ์ ( U ) และใช้รูปวงกลมหรือวงรี หรือรูปปิดใดๆ แทนเซตต่างๆ ที่เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์

U

แผนภาพแสดงเอกภพสัมพัทธ์ U

U

แผนภาพแสดงเซต A ซึ่งเป็นสับเซตของ U

A

A U

แผนภาพแสดงเซต A และ B ซึ่งเป็นสับเซตของ

B และเซต A กับเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน [ disjoint set ]

U แผนภาพแสดงเซต A และ B ซึ่งเป็นสับเซตของ U

A B และเซต A กับเซต B มีสมาชิกบางตัวร่วมกัน ซ้ำกัน [ joint set ]

A,B U แผนภาพแสดงเซต A และ B ซึ่งเป็นสับเซตของ U

และ A = B [ AB และ BA ] ⊂⊂

B U แผนภาพแสดงเซต A และ B ซึ่งเป็นสับเซตของ U

A และ A เป็นสับเซตแท้ของ B [ AB ] ⊂

A U แผนภาพแสดงเซต A และ B ซึ่งเป็นสับเซตของ U

B และ B เป็นสับเซตแท้ของ A [ B⊂A ]